Основы теории чисел, Отображения и их свойства, Элементы теории групп, Введение в теорию колец и полей
| контрольные работы, Математика Объем работы: 100 стр. Год сдачи: 2012 Стоимость: 9 бел рублей (290 рф рублей, 4.5 долларов) Просмотров: 373 | Не подходит работа? |
Оглавление
Введение
Заключение
Заказать работу
Теоретическая часть (вопросы)
1. Целые числа и их свойства. Теорема о делении с остатком. Примеры.
2. Делимость целых чисел. Свойства делимости целых чисел. Примеры.
3. Общий делитель (ОД) и наибольший общий делитель (НОД) целых чисел. Свойства НОД. Нахождение НОД из теоремы о делении с остатком. Примеры.
4. Алгоритм Евклида нахождения НОД целых чисел. Рекурсивное вычисление НОД. Соотношение Безу для НОД целых чисел.
5. Общее кратное (ОК) и наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел. Свойства НОК. Рекурсивное вычисление НОК. Связь НОД и НОК целых чисел. Примеры.
6. Простые натуральные числа и их свойства. Теорема о наименьшем делителе натурального числа, большего 1. Метод «решета» Эратосфена проверки чисел на простоту. Теорема Евклида.
7. Значение простых чисел. Теоремы о распределении простых чисел. Числа Мерсенна, Ферма, значения многочлена Эйлера.
8. Взаимно простые целые числа. Критерий взаимной простоты. Свойства взаимно простых чисел.
9. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение целого числа. Нахождение НОД и НОК целых чисел по их каноническим разложениям.
10. Диофантовы линейные уравнения. Критерий разрешимости уравнения. Теорема о решении уравнения с двумя неизвестными. Алгоритм решения уравнения с двумя неизвестными. Приложения диофантовых линейных уравнений.
11. Сравнимость целых чисел по натуральному модулю. Свойства сравнений. Примеры.
1. Целые числа и их свойства. Теорема о делении с остатком. Примеры.
2. Делимость целых чисел. Свойства делимости целых чисел. Примеры.
3. Общий делитель (ОД) и наибольший общий делитель (НОД) целых чисел. Свойства НОД. Нахождение НОД из теоремы о делении с остатком. Примеры.
4. Алгоритм Евклида нахождения НОД целых чисел. Рекурсивное вычисление НОД. Соотношение Безу для НОД целых чисел.
5. Общее кратное (ОК) и наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел. Свойства НОК. Рекурсивное вычисление НОК. Связь НОД и НОК целых чисел. Примеры.
6. Простые натуральные числа и их свойства. Теорема о наименьшем делителе натурального числа, большего 1. Метод «решета» Эратосфена проверки чисел на простоту. Теорема Евклида.
7. Значение простых чисел. Теоремы о распределении простых чисел. Числа Мерсенна, Ферма, значения многочлена Эйлера.
8. Взаимно простые целые числа. Критерий взаимной простоты. Свойства взаимно простых чисел.
9. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение целого числа. Нахождение НОД и НОК целых чисел по их каноническим разложениям.
10. Диофантовы линейные уравнения. Критерий разрешимости уравнения. Теорема о решении уравнения с двумя неизвестными. Алгоритм решения уравнения с двумя неизвестными. Приложения диофантовых линейных уравнений.
11. Сравнимость целых чисел по натуральному модулю. Свойства сравнений. Примеры.
Вопрос №1. Подстановка n-элементного множества. Произведение подстановок и обратная подстановка. Группа Sn и теорема о ее порядке. Примеры.
Определение 1.Пусть – конечное множество из n элементов для произвольного . Поскольку природа его элементов для нас несуществен-на, удобно считать, что = {1, 2,…, n}. Всякая биекция, т. е. взаимно однозначное преобразование , называется подстановкой на множестве . В развернутой и наглядной форме подстановку , i = 1, 2,…, n, удобно изображать в виде двухстрочной таблицы: . В этой таблице каждый i-й столбец четко указывает, в какой элемент f(i) преобразуется элемент i, .
Композиция подстановок, как композиция биективных преобразований, является подстановкой. Подстановки перемножаются в соответствии с общим правилом композиции функций: gf(i) = g(f(i)), i = 1, 2,…, n.
Определение 1.Пусть – конечное множество из n элементов для произвольного . Поскольку природа его элементов для нас несуществен-на, удобно считать, что = {1, 2,…, n}. Всякая биекция, т. е. взаимно однозначное преобразование , называется подстановкой на множестве . В развернутой и наглядной форме подстановку , i = 1, 2,…, n, удобно изображать в виде двухстрочной таблицы: . В этой таблице каждый i-й столбец четко указывает, в какой элемент f(i) преобразуется элемент i, .
Композиция подстановок, как композиция биективных преобразований, является подстановкой. Подстановки перемножаются в соответствии с общим правилом композиции функций: gf(i) = g(f(i)), i = 1, 2,…, n.
Понятия кольца, поля, подкольца и идеала кольца
Определение 4.1.1. Кольцо (K, +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением. Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b) c = a c + b c и с (a + b) = c a + c b для произвольных a, b, c K. Нейтральный элемент аддитивной группы кольца (K, +) называют нулем и часто обозначают символом 0.
Определение 4.1.2. Кольцо (K, +, ) называется конечным, если K – конечное множество, в противном случае – бесконечным. Порядком конечного кольца | K | называется мощность множества K. Основная классификация колец ведется по свойствам операции умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна, и неассоциативные кольца соответственно. Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (обладающие нейтральным элементом относительно умножения, который часто будем обозначать символом 1) и без единицы; коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные соответственно.
Определение 4.1.1. Кольцо (K, +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением. Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b) c = a c + b c и с (a + b) = c a + c b для произвольных a, b, c K. Нейтральный элемент аддитивной группы кольца (K, +) называют нулем и часто обозначают символом 0.
Определение 4.1.2. Кольцо (K, +, ) называется конечным, если K – конечное множество, в противном случае – бесконечным. Порядком конечного кольца | K | называется мощность множества K. Основная классификация колец ведется по свойствам операции умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна, и неассоциативные кольца соответственно. Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (обладающие нейтральным элементом относительно умножения, который часто будем обозначать символом 1) и без единицы; коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные соответственно.
После офорления заказа Вам будут доступны содержание, введение, список литературы*
*- если автор дал согласие и выложил это описание.