Решение задач асимптотического анализа с помощью неравенств: Чебышева, Коши — Буняковского – Шварца, Минковского, Чебышева.

Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.
Коши — Буняковского – Шварца
Задача:
Пусть a+b+c=1. Доказать, что .

Решение:

Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца имеем

.

А отсюда имеем, что .
Чебышева
Дана плотность вероятности случайной величины :


Найти , , , , .
Решение:
Известно, что
Вычислим данный интеграл:




Оценим вероятность с помощью неравенства Чебышева:


Ответ: