Полиномы Чебышева

Многочле́ны Чебышева - две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.
- многочлен Чебышева первого рода. Он характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^(n – 1), который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1].
- многочлен Чебышева второго рода. Он характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^n, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ − 1,1] принимает наименьшее возможное значение.
Многочлены Чебышева T_n (x) являются одним из наиболее замечательных семейств многочленов. Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий.В этой работе рассмотрим наиболее важные свойства многочленов Чебышева первого рода, пример которых изображен на рисунке:
...

Задание 14. Пусть – определитель матрицы порядка с диагональными элементами , наддиагональными элементами и поддиагональными элементами ; остальные элементы матрицы – нулевые. Доказать, что .

Решение.
Проведем доказательство методом индукции.
Для n=1: T_n (x)=2^0 x=x.
Пусть для всех T_i (x),i