Метод площадей в школьном курсе геометрии

ВВЕДЕНИЕ
Геометрия представляет собой общую науку о пространственных формах. Геометрия, как и вся математика, изучает объекты реального мира. Однако математические науки существенно отличаются от остальных естественных наук, изучающих специфические физические, химические, биологические, экономические и другие закономерности. В отличие от этих наук математика изучает объекты реального мира в наиболее абстрактном виде, существенно отвлекаясь от их конкретного содержания. В частности, геометрия принимает во внимание только форму предметов, отвлекаясь от вещества и физических свойств этих предметов, точно так же как, например, арифметика принимает во внимание только числа предметов и их отношения. Этот абстрактный характер математики и позволяет широко применять в ней дедуктивный метод, т.е. логическое выведение закономерностей из небольшого числа основных положений (определений, аксиом), в то время как упомянутые выше науки применяют главным образом индуктивный метод, т.е. установление общих закономерностей на основе частных эмпирических наблюдений.
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости (плоских фигур), называется планиметрией. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур), называется стереометрией.
Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» — телесный, пространственный и «метрео» — измеряю.
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, а также векторно-координатный метод, метод ключевых задач [2]. Методы делятся на методы алгебры и геометрии [2]. Геометрические методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур, координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает векторно-координатный метод потому, что он тесно связан с геометрией. Изящество...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теперь попытаемся подытожить и обобщить все вышесказанное. Среди различных систем величин, изучаемых в школе на различных этапах обучения, учащиеся уже в начальной школе знакомятся с понятием площади плоской фигуры. На первых этапах обучения речь идет об интуитивном представлении о площади, а не о строгом математическом обосновании этого понятия.
Первоначально у учащихся представление о площади плоской фигуры связывается с подсчетом числа единичных квадратов. Изучение площади в школе начинается с рассмотрения площади прямоугольника (стороны которого соизмеримы с линейной единицей измерения). Программа курса геометрии предусматривает знакомство учащихся с вычислением площади с помощью палетки. Использование ее позволяет сделать не только доступным для учащихся изучение вопроса об измерении площади любой плоской фигуры, но и помогает им правильно понять идею измерения площади (подсчет числа единичных квадратов, помещающихся в данной фигуре). Переходя от непосредственного измерения площади путем сравнения ее с единицей измерения к способам косвенного измерения площадей, учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что для измерения площадей нет столь удобных приборов, какие были для измерения длин отрезков и величин углов. Поэтому стоит более внимательно разобраться с величиной – площадью и выявить способы ее нахождения.
Сравнивая свойства площади со свойствами таких величин, как расстояние, угол, мы убеждаемся в том, что:
а) площади можно складывать между собой и умножать на положительные числа;
б) за единицу измерения площади можно выбрать некоторую площадь S, где S=ku, где k – некоторое число, u – единица площади.
Понятие площади фигуры вводится аксиоматически, но делается это неявно, с опорой на жизненный опыт учащихся. Сначала вводится формула площади прямоугольника (с целыми длинами сторон; длины сторон – конечные десятичные дроби; длины сторон – бесконечные десятичные дроби). На ее основе выводится формула площади параллелограмма;...