Математика

ВАРИАНТ 5
Задание 1. Решить систему уравнений пункта а) по формулам Крамера, пункта б) – матричным способом.

Решение. а) Матрица системы имеет вид . Ее определитель
, следовательно, система является невырожденной и имеет единственное решение.
Используем формулы Крамера:
;
;
.

Ответ: (1, 1, 1)
б) Решим систему матричным способом:
А•Х = В, где .


;
.
Ответ: (2, -1, 3)

Задание 2. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.
Найти:
а) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
б) уравнение прямой А1А2;
в) уравнение плоскости А1А2А3;
г) вычислить объем пирамиды А1А2А3А4;
д) уравнение высоты, опущенной из А4 на грань А1А2А3.
А1(1, 8, 2) А2(5, 2, 6) А3(5, 7, 4) А4(4, 10, 9)
Решение. а) Найдем координаты векторов: (5 – 1, 2 – 8, 6 - 2) = (4, -6, 4);
(5 – 1, 7 – 8, 4 – 2) = (4, -1, 2). Тогда
...

Решение.
а) Данное ДУ является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

б) , значит данное ДУ является однородным, решим его, введя замену: , , . Тогда

в) Данное ДУ является линейным, решим его заменой: .

Задание 9. Исследовать на сходимость числовой ряд (знакочередующийся ряд исследовать на абсолютную сходимость).
.
Решение. Применим признак сравнения. Для сравнения возьмем ряд , который расходится по предельному признаку сравнения по сравнению с расходящимся гармоническим рядом:
.
Т.к. для всех n выполняется неравенство , то из расходимости ряда следует расходимость ряда .
...