Контрольная по высшей математике

Задача 1. Даны векторы a,b,c,d. Требуется:
1) вычислить скалярное произведение векторов для векторов и ;
2) найти модуль векторного произведения векторов и ;
3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов и ;
4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;
5) найти координаты вектора d в этом базисе.
6. a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

Решение. 1) Вычислим скалярное произведение векторов и . Найдем векторы и . Согласно формуле , где скалярное произведение векторов и будет равно
2) Найдем модуль векторного произведения векторов и . Обозначим . Найдем координаты вектора .

Тогда длина вектора .
3) Проверим коллинеарность и ортогональность векторов и .
Два вектора и будут коллинеарными, если их координаты пропорциональны, т.е. . Векторы и будут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. Проверим, выполняются ли эти условия для векторов и
Очевидно, что векторы и неколлинеарные, т.к. .
Проверяем условие ортогональности: . Следовательно, и не ортогональны.
4) Убедимся, что векторы образуют базис. Для этого вычислим определитель третьего порядка , строками которого являются координаты векторов . Если он не равен нулю, то тройка является базисом.

следовательно, векторы образуют базис пространства .
5) Найдем координаты вектора в базисе . Обозначим искомые координаты через , т.е. .
Тогда . Отсюда, собирая коэффициенты при ортах , получаем систему трех уравнений для определения чисел :

Запишем систему в виде:
A = 1013349122
BT = (19,30,7)
Определитель:
∆ = 10 • (4 • 2-2 • 9)-3 • (1 • 2-2 • 3)+1 • (1 • 9-4 • 3) = -91
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

19 1 3
30 4 9
7 2 2
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 19 • (4 • 2-2 • 9)-30 • (1 • 2-2 • 3)+7 • (1 • 9-4 • 3) = -91

Заменим 2-ый...

Задача 12. Исследовать функцию f(x) на непрерывность в указанных точках. Определить характер точек разрыва.
116.
Решение. Для точки имеем:

т. е. в точке функция терпит бесконечный разрыв ( – точка разрыва второго рода).
Для точки имеем:

Следовательно, в точке функция непрерывна.