Ряды Фурье и ортогональные полиномы.

Введение
Математика изучает соотношения, столь глубоко проникающие в природу вещей, что их можно встретить при самых различных обстоя-тельствах. Разумеется, это в частности, верно в отношении основных поня-тий арифметики и геометрии, которые складывались в сознании человека с самого начала его мышления. С развитием науки и соответствующим рас-ширением круга явлений, поддающихся количественному исследованию, возникали все более сложные представления, которые постепенно упроща-лись путем сведений их к более простым.
К такого рода представлениям принадлежит общее аналитическое понятие ортогональности и, в частности, различные виды ортогональных систем, которые мы и будем рассматривать в данной работе.
Теория ортогональных многочленов всегда была привлекательной для изучения математиков и физиков всего мира. Взять только тот факт, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Шохата, Э. Хилле и Дж. Уолша [1], которая вышла в 1940 г., было приведено порядка двух тысяч работ в этой области.
Само понятие ортогонального многочлена было введено Чебышевым П. Л. в конце XIX в. в своих работах по непрерывным дробям, а далее развивалось Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и также нашло всевоз-можные применения в разных областях математики и физики.
Ортогональные полиномы является важной частью области матема-тики, лежащей на границе нескольких математических дисциплин (теория функций, анализ и краевые задачи для дифференциальных уравнений).
Актуальность исследуемой темы объясняется тем, что система орто-гональных полиномов является простейшей системой ортогональных функций и поэтому является весьма ценным аппаратом для приближенного представления функций более сложной природы. А ряды Фурье активно используются для решения не только математических задач, но и уравне-ний математической физики, таких как уравнение теплопроводности, вол-новое уравнение, уравнение Лапласа.
Объектом исследования: ортонормированные системы.
Предмет исследования: ортонормированные...

В данной работе были решены следующие изначально поставленные задачи:
• были проанализированы свойства ортонормированных систем;
• выведены формулы, описывающие коэффициенты Фурье;
• описаны основных свойств коэффициентов Фурье;
• описаны основных способов задания ортогональных полиномов;
• описаны различных систем ортогональных полиномов;
• приведены примеров решения задач на разложения в ряды Фурье;
• приведены примеров решения дифференциальных уравнений с ис-пользованием рядов Фурье.
Первым основным определением важным для решения практических задач в данной работе было определение тригонометрического ряда Фурье на промежутке , то , где



Во второй главе были приведены основные элементы теории ортого-нальных многочленов. Данная теория хорошо развита и в ней получено большое количество систем ортогональных полиномов.
Для обобщения и лучшей наглядности понятия ортогонального полинома все приведенные выкладки в данной работе были в объединены в единую таблицу.
Функция Полином Вес Условие ортогональности

Полиномы Лагерра



Полиномы Якоби



Полиномы Лежандра


В работе были приведены задачи на разложение функций следующего типа:
1) разложения функции в ряд Фурье на интервале;
2) разложение функций в ряд Фурье по косинусам;
3) разложение функций в ряд Фурье по синусам.
Первоначально теория рядов Фурье была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому ряды Фурье широко используют при поиске решений уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работе были приведены примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Фурье. А именно уравнений математической физики следующего типа:
1) уравнение теплопроводности
2) волновое уравнение
3) уравнение Лапласа